বিভাগ: অন্যান্য বিজ্ঞানসমূহ

গ্রন্থ: যিজ আস-সাবি

লেখক: মুহাম্মদ বিন জাবির বিন সিনান আল-হাররানি আর-রাক্কি আস-সাবি, আবু আবদুল্লাহ যিনি আল-বাত্তানি নামে পরিচিত (মৃত্যু ৩১৭ হিজরি)

[গ্রন্থটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সংখ্যায়িত এবং মুদ্রিত সংস্করণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়]

পৃষ্ঠা সংখ্যা: ১৫৫

আল-শামেলায় প্রকাশের তারিখ: ৮ জিলহজ ১৪৩১

তিনি বললেন যে, প্রাচীন পণ্ডিতগণ আকাশমণ্ডলীর বৃত্তকে তিনশ ষাটটি অংশে বিভক্ত করেছেন এবং এর স্বপক্ষে বিভিন্ন যুক্তি উপস্থাপন করেছেন। তার মধ্যে একটি হলো—এই অংশগুলোর সংখ্যা বছরের দিন সংখ্যার কাছাকাছি, যা সূর্যের পরিক্রমায় আকাশমণ্ডলীর একটি স্থির বিন্দু থেকে পুনরায় সেই বিন্দুতে ফিরে আসার মাধ্যমে পূর্ণ হয়। এছাড়া এটি এমন একটি সংখ্যা যার অর্ধেক, এক-তৃতীয়াংশ, এক-চতুর্থাংশ এবং আরও অনেক ভগ্নাংশ বের করা সম্ভব যা অন্য অনেক সংখ্যার ক্ষেত্রে নিখুঁতভাবে পাওয়া যায় না। তারা আকাশমণ্ডলীর চারটি বিন্দুতে সূর্যকে স্থাপন করেছেন যা দুটি বিষুব এবং দুটি অয়নান্ত সৃষ্টি করে এবং বছরকে চারটি ভিন্ন ঋতুতে বিভক্ত করে: বসন্ত, গ্রীষ্ম, শরৎ ও শীত। তারা প্রতিটি বিন্দুকে সেই ঋতুর সাথে সম্বন্ধযুক্ত করেছেন যা সূর্যের সেখানে গমনের ফলে উৎপন্ন হয়। যেহেতু প্রতিটি মাত্রার একটি মধ্যভাগ এবং দুটি প্রান্ত থাকে, তাই এই ঋতুগুলোর প্রতিটি আবার তিনটি উপ-বিভাগে বিভক্ত। সেই অনুযায়ী আকাশমণ্ডলীর বৃত্তের বিভাগ বারোটি হওয়া আবশ্যক। তারা বসন্তকালীন বিন্দুটিকে এই বিন্দুগুলোর মধ্যে শ্রেষ্ঠ এবং গণনার প্রারম্ভ হিসেবে অগ্রাধিকারযোগ্য হিসেবে গণ্য করেছেন; কারণ এখান থেকে বিষুবের পর দিন বড় হতে শুরু করে এবং সূর্য তার উত্তর গোলার্ধের কক্ষপথের দিকে আরোহণ করে, ফলে উত্তাপ বৃদ্ধি পায়। এই ঋতুর প্রকৃতি হলো আর্দ্র ও উষ্ণতার দিকে ঝুঁকে থাকা, যা প্রবৃদ্ধি ও বস্তুসমূহের অস্তিত্ব লাভের সূচনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তাই তারা এখান থেকেই জ্যোতির্বিজ্ঞানের হিসাব শুরু করেছেন। অতঃপর তারা এই বারোটি বিভাগের অনুগামী বারোটি নক্ষত্রমণ্ডল পেয়েছেন যাদের রাশি বলা হয়। তারা প্রতিটি রাশিকে তার নিকটবর্তী নক্ষত্রমণ্ডলের নামে নামকরণ করেছেন, যদিও দীর্ঘ সময় অতিক্রান্ত হওয়ার ফলে এই নক্ষত্রমণ্ডলগুলো তাদের নামাঙ্কিত রাশির স্থান থেকে বিচ্যুত হয়ে যায়। এভাবে প্রথম রাশিটি হলো মেষ, তারপর বৃষ, তারপর মিথুন, তারপর কর্কট, তারপর সিংহ, তারপর কন্যা, তারপর তুলা, তারপর বৃশ্চিক, তারপর ধনু, তারপর মকর, তারপর কুম্ভ এবং তারপর মীন। এই রাশিগুলোর প্রত্যেকের জন্য ত্রিশটি অংশ নির্ধারিত হয়েছে, যা আকাশমণ্ডলীর বৃত্তের তিনশ ষাট অংশের অংশবিশেষ। এই অংশগুলোকে ডিগ্রি বলা হয়। প্রতিটি ডিগ্রি ষাটটি ভাগে বিভক্ত হয় যাকে মিনিট বলা হয়। প্রতিটি মিনিট আবার ষাটটি ভাগে বিভক্ত হয় যাকে সেকেন্ড বলা হয়। প্রতিটি সেকেন্ড আবার ষাটটি তৃতীয়ক ভাগে বিভক্ত হয়। এভাবেই দশম ভাগ এবং তার পরবর্তী পর্যায়ক্রমিক শ্রেণিগুলো পর্যন্ত এই বিভাজন পদ্ধতি কার্যকর হয়। আর গুণ করার অর্থ হলো—দুটি সংখ্যার একটিকে অপরটির একক সমপরিমাণ বৃদ্ধি করা, অর্থাৎ এককের সাথে এককের গুণ। আর এককের সাথে ভগ্নাংশের গুণ হলো—একক অনুযায়ী ভগ্নাংশকে বৃদ্ধি করা অথবা এককের অংশকে এককের সাপেক্ষে ভগ্নাংশের মানে বিভক্ত করা। আর ভগ্নাংশের সাথে ভগ্নাংশের গুণ হলো—যেকোনো একটি ভগ্নাংশকে এককের সাপেক্ষে অপর ভগ্নাংশের মানে বিভক্ত করা। এর নিয়ম হলো—ডিগ্রিকে ডিগ্রি দিয়ে গুণ করলে গুণফল ডিগ্রিই হয়। ডিগ্রিকে যদি মিনিট দিয়ে গুণ করা হয় তবে তা মিনিট হয়। আর ডিগ্রিকে যদি সেকেন্ড দিয়ে গুণ করা হয় তবে গুণফল সেকেন্ড হয়। একইভাবে তৃতীয়ক, চতুর্থক এবং পরবর্তী ধাপগুলোর ক্ষেত্রেও এটি প্রযোজ্য। অর্থাৎ গুণফলটি হবে অপেক্ষাকৃত ক্ষুদ্রতর শ্রেণির সমজাতীয়। আর ডিগ্রির নিচে থাকা মিনিট এবং অন্যান্যদের ক্ষেত্রে নিয়ম হলো—যদি প্রতিটি শ্রেণিকে নিজের দ্বারা গুণ করা হয়, তবে গুণফলটি সেই পরিমাণ নিম্নগামী হবে যে পরিমাণ সেটি ডিগ্রি থেকে নিম্নগামী। উদাহরণস্বরূপ, মিনিটকে মিনিট দিয়ে গুণ করলে গুণফল সেকেন্ড হবে। আর মিনিটকে সেকেন্ড দিয়ে গুণ করলে গুণফল তৃতীয়ক হবে। একইভাবে তৃতীয়ক ও চতুর্থকের গুণফলও এই নিম্নগামিতার নিয়ম অনুযায়ী সম্পন্ন হবে।

তিনি বলেছেন, প্রাচীন পণ্ডিতগণ বৃত্তের পরিধির তুলনায় এর ব্যাসের পরিমাপের বিষয়ে মতভেদ করেছেন, তবে তারা একটি নিকটবর্তী মান প্রদান করেছেন। একদল উল্লেখ করেছেন যে, বৃত্তের পরিধি হলো তার ব্যাসের তিন গুণ এবং ব্যাসের এক-সপ্তমাংশ। অন্যরা বলেছেন যে, এটি হলো তার তিন গুণ এবং একাত্তর ভাগের দশ ভাগ ও তার সামান্য কিছু। মহাজ্ঞানী টলেমি এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানিগণ যে মানটির উপর ভিত্তি করে কাজ করেছেন তা এই দুই পরিমাপের মধ্যবর্তী; আর তা হলো তিন, এক-দশমাংশ এবং এক-এককের এক-ষষ্ঠমাংশের এক-চতুর্থাংশ। জ্যা (chord) নির্ধারণের ক্ষেত্রে এর প্রকৃত সত্য জানার প্রয়োজন আমাদের নেই, যেহেতু বৃত্তচাপ এবং জ্যাসমূহের একে অপরের সাপেক্ষে কোনো সুনির্দিষ্ট পরিমাপ নেই; বরং তা কেবল তাদের জ্যা থেকেই জানা যায়। ব্যাসের মান আমরা আমাদের ইচ্ছামতো ধরে নিলে আমাদের কোনো ক্ষতি নেই। এই কারণে টলেমি হিসাবের সুবিধার জন্য একে একশত বিশ অংশে নির্ধারণ করেছেন এবং আমরাও এই গ্রন্থে সেই অনুসারেই কাজ করব। প্রমাণের মাধ্যমে এটি স্পষ্ট হয়েছে যে, যেকোনো বৃত্তের ষষ্ঠমাংশের জ্যা তার ব্যাসার্ধের সমান। আকাশমণ্ডলের বৃত্তের ষষ্ঠমাংশের পরিমাপ হিসাবের মূলনীতি অনুযায়ী ষাট অংশ বলে প্রমাণিত হয়েছে, যা সেই পরিমাপ অনুযায়ী যাতে বৃত্তকে তিনশত ষাট অংশে ধরা হয়; এবং যেখানে ব্যাস একশত বিশ অংশ সেখানে ষষ্ঠমাংশের জ্যা-ও ষাট অংশ হয়। যখন বৃত্তের এক-ষষ্ঠমাংশের জ্যা-কে তার নিজের দ্বারা গুণ করা হয় এবং তা ব্যাসের বর্গের গুণফল থেকে বিয়োগ করা হয়, তখন যা অবশিষ্ট থাকে তার বর্গমূল হলো বৃত্তের এক-তৃতীয়াংশের জ্যা। একইভাবে, কোনো বৃত্তের যে কোনো চাপ যার জ্যা জানা আছে, যদি সেই চাপের জ্যা-কে তার নিজের দ্বারা গুণ করা হয় এবং প্রাপ্ত ফলকে ব্যাসের বর্গের গুণফল থেকে বিয়োগ করা হয়, তবে অবশিষ্টের বর্গমূল হবে অর্ধবৃত্ত পূর্ণ করতে অবশিষ্ট চাপের জ্যা। বৃত্তের এক-চতুর্থাংশের জ্যা হলো ব্যাসার্ধের বর্গের দ্বিগুণের বর্গমূল। বৃত্তের এক-চতুর্থাংশের জ্যা হলো ব্যাসার্ধের বর্গের দ্বিগুণের বর্গমূল। যেকোনো বৃত্তের এক-দশমাংশের জ্যা হলো সেই মান যা পাওয়া যায় যখন ব্যাসার্ধের বর্গকে ব্যাসের এক-চতুর্থাংশের বর্গের সাথে যোগ করা হয়, অতঃপর সেই সমষ্টির বর্গমূল নিয়ে তা থেকে ব্যাসের এক-চতুর্থাংশ বিয়োগ করা হয়; যা অবশিষ্ট থাকে তা-ই হলো সেই বৃত্তের এক-দশমাংশের জ্যা। আর এক-দশমাংশের জ্যা-এর বর্গকে যদি ব্যাসার্ধের বর্গের সাথে যোগ করা হয় এবং সেই সমষ্টির বর্গমূল নেওয়া হয়, তবে তা হবে সেই বৃত্তের এক-পঞ্চমাংশের জ্যা। বৃত্তের এমন দুটি চাপ যাদের জ্যা জানা আছে, তাদের পার্থক্যের মধ্যবর্তী চাপের জ্যা-ও জানা সম্ভব। আর তা হলো, প্রতিটি চাপের জ্যা-কে অপর চাপের অর্ধবৃত্ত পূর্ণ করতে অবশিষ্ট অংশের জ্যা দ্বারা গুণ করা, তারপর তাদের গুণফলের পার্থক্যকে ব্যাস দ্বারা ভাগ করা; যা পাওয়া যাবে তা-ই হলো সেই দুই চাপের পার্থক্যের মধ্যবর্তী অংশের জ্যা। কোনো বৃত্তের এমন চাপ যার জ্যা জানা আছে, তার অর্ধেক চাপের জ্যা-ও জানা সম্ভব। আর তা হলো, উক্ত চাপটি অর্ধবৃত্ত পূর্ণ করতে যতটুকু অবশিষ্ট থাকে তার জ্যা-কে পূর্ণ ব্যাস থেকে বিয়োগ করা, তারপর অবশিষ্টের অর্ধেককে পূর্ণ ব্যাস দ্বারা গুণ করা এবং প্রাপ্ত মানের বর্গমূল নেওয়া; যা পাওয়া যাবে তা-ই হলো সেই চাপের অর্ধেকের জ্যা।

একটি বৃত্তের এমন দু’টি চাপ যাদের জ্যা জানা আছে, যদি একটিকে অন্যটির ওপর স্থাপন করে একত্র করা হয় যাতে সেগুলো একটি একক চাপে পরিণত হয়, তবে সেই সম্মিলিত চাপের জ্যা-ও জানা হয়ে যাবে। আর তা হলো এভাবে যে, উভয় চাপের প্রতিটি জ্যা-কে অপরটি দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রতিটি চাপের বিপরীতে অর্ধবৃত্ত পূর্ণ হতে যে অংশ অবশিষ্ট থাকে তার জ্যা-কেও গুণ করতে হবে। অতঃপর এই গুণফলদ্বয়ের ব্যবধান বা পার্থক্য নিতে হবে এবং তাকে সম্পূর্ণ ব্যাস দ্বারা ভাগ করতে হবে। এর ফলে যা পাওয়া যাবে তা হলো সম্মিলিত চাপটি অর্ধবৃত্ত পূর্ণ করতে যে পরিমাণ অবশিষ্ট থাকে তার জ্যা। অতঃপর যদি একে বর্গ করে ব্যাসের বর্গ থেকে বিয়োগ করা হয় এবং অবশিষ্টের বর্গমূল গ্রহণ করা হয়, তবে তা হবে ঐ সম্মিলিত চাপের জ্যা। এই নিয়ম অনুযায়ী এবং উল্লিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করে একটি অর্ধবৃত্তের অবশিষ্ট সকল জানা জ্যা বের করা সম্ভব। আর যে সকল জ্যা প্রমাণের মাধ্যমে জানা নয়, যেমন এক অংশের জ্যা এবং তার গুণিতকসমূহ—যেমন দুই, চার, আট এবং অনুরূপ—সেগুলো প্রমাণের পদ্ধতিতে হিসাবের মাধ্যমে বের করা যায় না যেভাবে ঐ সকল চাপ ও জ্যাসমূহ বের করা যায়। তবে প্রমাণের মাধ্যমে এটি জানা যায় যে, ক্ষুদ্রতর চাপের জ্যা এবং তার চাপের অনুপাত, বৃহত্তর চাপের জ্যা এবং তার চাপের অনুপাত অপেক্ষা বৃহত্তর। যেহেতু এক অংশ ও অর্ধ অংশ এবং অর্ধ ও এক-চতুর্থাংশের জ্যা প্রমাণের মাধ্যমে জানা ছিল, এবং এক ও অর্ধ অংশের জ্যা-র দুই-তৃতীয়াংশ থেকে যা অর্জিত হয় তা অর্ধ ও এক-চতুর্থাংশ অংশের জ্যা-র সাথে তার এক-তৃতীয়াংশ যোগ করলে যা পাওয়া যায় তার সমান, এবং তাদের মধ্যে এমন কোনো পার্থক্য নেই যা অনুভব করা যায় বা যার কারণে হিসাবের ক্ষেত্রে কোনো বিচ্যুতি ঘটে। আর যখন তিন-চতুর্থাংশের জ্যা গ্রহণ করে তার সাথে তার এক-তৃতীয়াংশ যোগ করা হয়, তখন যা পাওয়া যায় তা হলো এক অংশের জ্যা। যখন এভাবে এক অংশের জ্যা জানা হয়ে গেল, তখন অর্ধবৃত্তের সকল অংশের জ্যা-ও জানা হয়ে গেল। আর যেহেতু জানা চাপসমূহের পরস্পরছেদী অংশগুলোর পরিমাণ নির্ণয় করতে জানা চাপসমূহের দ্বিগুণের জ্যা ব্যবহার করার প্রয়োজন হয়, এবং বৃত্তকে যখন তার কেন্দ্রের ওপর সমকোণে পরস্পরছেদী দুটি রেখা দ্বারা বিভক্ত করা হয়, তখন তা চারটি সমান চতুর্থাংশে বিভক্ত হয় যা চারটি কোণ গঠন করে, যার প্রতিটি কোণ পরিধির নব্বই অংশকে বেষ্টন করে থাকে। এবং কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত বিস্তৃত দুটি রেখা যাদের প্রত্যেকের মান হলো ব্যাসার্ধ; আর দুটি সমকোণকে—যা দুটি চতুর্থাংশের নিচে অবস্থিত—একটি সরলরেখা বেষ্টন করে যা হলো পূর্ণ ব্যাস। এটি স্পষ্ট যে, ব্যাস হলো সেই রেখা দুটির প্রত্যেকের দ্বিগুণ যা একটি চতুর্থাংশের নিচে অবস্থিত একটি সমকোণকে বেষ্টন করে আছে। ফলে সমকোণকে বেষ্টনকারী প্রতিটি রেখার সাথে দুটি সমকোণকে বেষ্টনকারী ব্যাসের অনুপাত ঠিক তেমন হলো যেমন বৃত্তের এক-চতুর্থাংশের সাথে তার অর্ধাংশের অনুপাত। এ কারণে অর্ধবৃত্তের অবশিষ্ট চাপসমূহের জ্যা-গুলোকে ব্যাস দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে এবং ব্যাসের উভয় পার্শের চাপগুলোকেও দুই ভাগে বিভক্ত করে। তাই এর প্রতিটি চাপের জ্যা এবং পূর্ণ ব্যাসের অনুপাত হলো ঐ চাপের অর্ধেকের নিচে অবস্থিত জ্যা-র অর্ধাংশ এবং ব্যাসার্ধের অনুপাতের সমান; আর এটি হলো ব্যাসের উভয় পার্শ্বে অবস্থিত চাপের দ্বিগুণের জ্যা-র অর্ধেক, যার অর্ধেক প্রতিটি চতুর্থাংশে বিদ্যমান। এটিই আমাদের উদ্দেশ্য এবং এটিই আমরা হিসাবের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করি যাতে আমাদের উদ্দিষ্ট বিষয়ে চাপকে দ্বিগুণ করার প্রয়োজন না হয়। টলেমি এটি করেছিলেন কেবল প্রমাণ প্রতিষ্ঠার জন্য। কিন্তু আমরা বৃত্তের এক-চতুর্থাংশের প্রতিটি চাপের দ্বিগুণের জ্যা-র অর্ধেক গ্রহণ করেছি এবং তাকে ঐ চতুর্থাংশে অবস্থিত চাপের অংশের অধীনে স্থাপন করেছি। আমরা সারণিতে চাপসমূহের ব্যবধান আধা-অংশ হিসেবে নির্ধারণ করেছি পূর্ণ নব্বই অংশ পর্যন্ত যা সমগ্র চতুর্থাংশকে বেষ্টন করে। এর ফলে এক অংশের জ্যা-র অর্ধেক আধা-অংশের নিচে, ষাট অংশের জ্যা-র অর্ধেক ত্রিশ অংশের নিচে, একশত বিশ অংশের জ্যা-র অর্ধেক ষাট অংশের নিচে এবং একশত আশি অংশের (যা অর্ধবৃত্ত এবং যার জ্যা হলো পূর্ণ ব্যাস) জ্যা-র অর্ধেক নব্বই অংশের (যা পূর্ণ চতুর্থাংশের অংশসমূহ এবং যা ব্যাসার্ধ, যার মান ষাট অংশ) নিচে অবস্থিত হয়েছে। আর এই গ্রন্থে অঙ্কিত উল্লিখিত সকল খণ্ডিত জ্যা-র অনুপাত এরই সাথে সম্পর্কিত।

যাতে পরবর্তীতে কথা পুনরাবৃত্তি করার প্রয়োজন না হয়, সেহেতু আমরা বর্ণনা করছি যে, আমাদের এই কিতাবে যেখানেই আমরা জ্যা (وتر) শব্দটি উচ্চারণ করব, তার দ্বারা উদ্দেশ্য হবে এই অর্ধ-জ্যাসমূহ (الأوتار المنصفة), যতক্ষণ না আমরা সেটিকে তার নির্দিষ্ট নামে 'পূর্ণ-জ্যা' (وتراً تاماً) বলে অভিহিত করি; আর অধিকাংশ ক্ষেত্রে আমাদের এর প্রয়োজনীয়তা খুব সামান্যই। সুতরাং আপনি যদি সারণি (Table) থেকে এই অর্ধ-জ্যাগুলোর মধ্যে আপনার কাঙ্ক্ষিত যেকোনো ডিগ্রির জ্যা জানতে চান, তবে অর্ধ-জ্যার সারণিতে আধা অংশের ব্যবধানে সাজানো সংখ্যার সারিতে তা খুঁজুন। সেখানে আপনার কাছে থাকা সংখ্যার অনুরূপ যে সংখ্যাটি পাবেন, জ্যা-সারণিতে তার বিপরীতে অঙ্কিত ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডগুলো গ্রহণ করুন। যা পাওয়া যাবে তাই হবে আপনার অভীষ্ট ডিগ্রির জ্যা। যদি ডিগ্রির সাথে মিনিট থাকে এবং তা ত্রিশ মিনিটের বেশি বা কম হয়, তবে আপনার কাছে থাকা ডিগ্রির সাথে থাকা মিনিটগুলোর চেয়ে কম এবং সবচেয়ে নিকটবর্তী যে পূর্ণ ডিগ্রি অথবা ডিগ্রি ও অর্ধেক (সাড়ে ডিগ্রি) পাওয়া যায় তা গ্রহণ করুন। সারণিতে তার বিপরীতে যা বের হবে তা সংরক্ষণ করুন। এরপর সারণিতে পাওয়া সংখ্যাটি আপনার কাছে থাকা সংখ্যা থেকে বিয়োগ করুন। অবশিষ্ট মিনিটকে আপনার সংরক্ষিত জ্যা এবং তার পরবর্তী (আধা অংশ বেশি) জ্যা-র মধ্যবর্তী পার্থক্যের সাথে গুণ করুন। গুণফলকে ত্রিশ মিনিট দ্বারা ভাগ করুন, যার ভিত্তিতে চাপের উভয় সারিতে সংখ্যাগুলো বিভক্ত। ভাগফল থেকে প্রাপ্ত মিনিট ও সেকেন্ড আপনার সংরক্ষিত জ্যার সাথে যোগ করুন যদি সংরক্ষিতটি ছোট হয়, আর যদি সংরক্ষিতটি বড় হয় তবে তা থেকে বিয়োগ করুন। এই বৃদ্ধি বা হ্রাসের পর যা পাওয়া যাবে, তা-ই হবে আপনার কাছে থাকা ডিগ্রি ও মিনিটের জ্যা। আর আপনি যদি জানতে চান আপনার কাছে অবশিষ্ট থাকা মিনিটের পরিমাণ ত্রিশ মিনিটের কত অংশ—তা অর্ধেক, এক-তৃতীয়াংশ, তার চেয়ে কম বা বেশি হোক—তবে জ্যা-সমূহের পার্থক্যের সেই নির্দিষ্ট অংশ গ্রহণ করে বৃদ্ধি ও হ্রাসের ক্ষেত্রে একই পদ্ধতি অবলম্বন করবেন। যা অর্জিত হবে তা-ই হবে আপনার কাঙ্ক্ষিত চাপের জ্যা। আর আপনি যদি এই জ্যা-সমূহের মাধ্যমে চাপসমূহ জানতে চান, তবে জ্যা-সারণিতে উক্ত জ্যা-র অনুরূপ সংখ্যাটি খুঁজুন। যেখানে আপনি এর অনুরূপ বা এর চেয়ে ছোট কোনো নিকটবর্তী সংখ্যা পাবেন, তখন সংখ্যার দুই সারির প্রথম সারিতে তার বিপরীতে যা আছে তা গ্রহণ করুন; এটিই আপনার কাঙ্ক্ষিত চাপ, একে সংরক্ষণ করুন। এরপর সারণিতে প্রাপ্ত জ্যা-কে আপনার কাছে থাকা জ্যা থেকে বিয়োগ করুন। যা অবশিষ্ট থাকবে তাকে ত্রিশ মিনিট দিয়ে গুণ করুন এবং গুণফলকে প্রাপ্ত জ্যা ও তার পরবর্তী জ্যার পার্থক্যের মাধ্যমে ভাগ করুন। প্রাপ্ত মিনিট ও সেকেন্ডকে সংরক্ষিত চাপের সাথে যোগ করুন। যোগফলের পর যে চাপ পাওয়া যাবে, তা-ই হবে আপনার অভীষ্ট অর্ধ-জ্যার চাপ। আর আপনি চাইলে অবশিষ্ট মিনিট ও সেকেন্ডের পরিমাণ পর্যবেক্ষণ করতে পারেন যে, তা আপনার প্রাপ্ত জ্যা এবং তার পরবর্তী জ্যার মধ্যবর্তী পার্থক্যের কত অংশ। এরপর সেই অংশ অনুযায়ী ত্রিশ মিনিটের ভাগ নিয়ে তা সংরক্ষিত চাপের সাথে পূর্বোক্ত নিয়মে যোগ করুন; উভয় পদ্ধতির অর্থ একই। এই অধ্যায়কে 'জ্যা-র চাপ নির্ণয়' বলা হয়। আপনি যদি চাপের মাধ্যমে বিপরীত জ্যা (الأوتار الراجعة) জানতে চান, তবে লক্ষ্য করুন: আপনি যে সংখ্যার বিপরীত জ্যা জানতে চাচ্ছেন তা যদি নব্বই ডিগ্রির কম হয়, তবে তা নব্বই থেকে বিয়োগ করুন। অবশিষ্ট অংশের জ্যা পূর্বোক্ত নিয়মে বের করুন। যা পাওয়া যাবে তা ষাট ডিগ্রি (যা ব্যাসার্ধ) থেকে বিয়োগ করুন। যা অবশিষ্ট থাকবে তা-ই হবে উক্ত চাপের বিপরীত জ্যা। আর যদি সংখ্যাটি নব্বইয়ের বেশি হয়, তবে নব্বইয়ের অতিরিক্ত অংশটুকু কত তা দেখুন এবং তার জ্যা বের করুন। যা পাওয়া যাবে তা ষাট ডিগ্রির সাথে যোগ করুন। যোগফল যা হবে তা-ই হবে উক্ত চাপের বিপরীত জ্যা। আর যদি সংখ্যাটি নব্বইয়ের বেশি হয়, তবে নব্বইয়ের অতিরিক্ত অংশটুকু কত তা দেখুন এবং তার জ্যা বের করুন। যা পাওয়া যাবে তা ষাট ডিগ্রির সাথে যোগ করুন। যোগফল যা হবে তা-ই হবে আপনার কাঙ্ক্ষিত চাপের বিপরীত জ্যা। আর যদি আপনি এই বিপরীত জ্যা-সমূহের মাধ্যমে বিপরীত চাপ জানতে চান, তবে লক্ষ্য করুন: আপনার কাঙ্ক্ষিত জ্যা যদি ষাট ডিগ্রির কম হয়, তবে তা ষাট থেকে বিয়োগ করুন। অবশিষ্ট অংশের চাপ সেই নিয়মে বের করুন। প্রাপ্ত চাপকে নব্বই থেকে বিয়োগ করুন; যা অবশিষ্ট থাকবে তা-ই হবে বিপরীত চাপের পরিমাণ। আর যদি জ্যা ষাট ডিগ্রির বেশি হয়, তবে তার চাপ বের করুন এবং প্রাপ্ত ফলাফলকে নব্বই ডিগ্রির সাথে যোগ করুন। যোগফল যা হবে তা-ই হবে বিপরীত চাপের পরিমাণ।

তিনি বলেন যে, রাশিবলয়ের (জ্যোতিশ্চক্র) হেলন বা বক্রতা—যা সূর্যের কক্ষপথ দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং যার ওপর সূর্যকে দেখা যায়—তা বিষুবীয় বৃত্ত (নিরক্ষীয় বৃত্ত) থেকে বিচ্যুত, যার ওপর মহাগোলকের কক্ষপথ তার দুই মেরুর চারদিকে আবর্তিত হয়। এটি সূর্যের পর্যবেক্ষণ এবং মধ্যাহ্ন বৃত্তে—যা বিষুবীয় বৃত্তের দুই মেরু, সু-বিন্দু (Zenith) এবং দিগন্ত রেখাকে ছেদকারী আকাশের মধ্যবর্তী একটি বৃত্ত—তার দুই অয়নান্ত বিন্দুতে (শীত ও গ্রীষ্মকালীন অয়নান্ত) গতিপথ পরীক্ষা করার মাধ্যমে জানা যায়। হিপ্পার্কাস উল্লেখ করেছেন এবং টলেমি তার গ্রন্থে বর্ণনা করেছেন যে, মধ্যাহ্ন বৃত্তে শীতকালীন ও গ্রীষ্মকালীন অয়নান্তদ্বয়ের মধ্যবর্তী চাপের পরিমাণ হলো সাতচল্লিশ ডিগ্রি বিয়াল্লিশ মিনিট। আর এর হেলন হলো তার অর্ধেক, অর্থাৎ তেইশ ডিগ্রি একান্ন মিনিট। আমরা আমাদের বর্তমান যুগে দীর্ঘ আলহিদাদ (العضادة) এবং উল্লিখিত পাথরের স্তম্ভ (اللبنة)—যার কার্যপ্রণালী ও গঠন আমি আমার 'আল-মাজিসতী' গ্রন্থে সূক্ষ্ম বিভাজন ও যন্ত্রের নিখুঁত স্থাপনার বিবরণসহ উল্লেখ করেছি—তা দ্বারা বহুবার পর্যবেক্ষণ করেছি। আমরা রাক্কা শহরে মধ্যাহ্ন বৃত্তে সু-বিন্দু (মাথার উপরিভাগ) থেকে সূর্যের নিকটতম দূরত্ব পেয়েছি বারো ডিগ্রি ছাব্বিশ মিনিট এবং দূরতম দূরত্ব পেয়েছি ঊনষাট ডিগ্রি ছত্রিশ মিনিট। এর মাধ্যমে আমাদের কাছে স্পষ্ট হয়েছে যে, প্রকৃতপক্ষে দুই অয়নান্তের মধ্যবর্তী চাপের পরিমাণ হলো সাতচল্লিশ ডিগ্রি দশ মিনিট। আর বিষুবীয় বৃত্ত থেকে রাশিবলয়ের হেলন হলো এই অংশগুলোর অর্ধেক, অর্থাৎ তেইশ ডিগ্রি পঁয়ত্রিশ মিনিট। এটিই হলো দুই কক্ষপথের মেরুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব। আমরা আমাদের এই গ্রন্থে এর ওপরই ভিত্তি করে কাজ করব, কারণ এটি প্রত্যক্ষ পর্যবেক্ষণের ফসল, আর আগেরটি ছিল জনশ্রুতি। এর মাধ্যমে আমরা জানতে পেরেছি যে, রাক্কা শহর—যেখানে পর্যবেক্ষণটি চালানো হয়েছে—তা বিষুবীয় বৃত্ত থেকে মধ্যাহ্ন বৃত্তে ছত্রিশ ডিগ্রি দূরত্বে অবস্থিত। এটিই হলো সেখানে দিগন্ত থেকে উত্তরের বিষুবীয় মেরুর উচ্চতা এবং সু-বিন্দু থেকে দক্ষিণ দিকে বিষুবীয় বৃত্তের দূরত্ব।

আপনি যদি এই হেলন গণনা করতে চান এবং প্রতিটি ডিগ্রির জন্য তার নির্ধারিত অংশ জানতে চান—নব্বই ডিগ্রি পূর্ণ হওয়া পর্যন্ত যা হেলনের পূর্ণতা এবং যার মান তেইশ ডিগ্রি পঁয়ত্রিশ মিনিট—তবে এক ডিগ্রি, দুই ডিগ্রি বা তার বেশি যত ডিগ্রির প্রয়োজন হয়, নব্বই ডিগ্রি পূর্ণ হওয়া পর্যন্ত তার জ্যা (Chord) গ্রহণ করুন। এটি মেষ রাশির শুরু থেকে মিথুন রাশির শেষ পর্যন্ত বিস্তৃত। যখন আপনি কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রির জ্যা জানতে পারবেন, তখন তাকে পূর্ণ হেলনের জ্যা দ্বারা গুণ করুন। গুণফলকে ব্যাসার্ধ অর্থাৎ ষাট দ্বারা ভাগ করুন। ভাগফল যা আসবে তার চাপ (Arc) নির্ণয় করুন। সেই চাপের মানই হবে মধ্যাহ্ন বৃত্তে বিষুবীয় বৃত্ত থেকে ওই কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রির হেলনের পরিমাণ।

আপনি যদি এটি সারণীতে (জداول) প্রতিটি ডিগ্রির জন্য লিপিবদ্ধ করতে চান, তবে রাশিবলয়ের সমস্ত অংশের হেলন জেনে নিন। নব্বই ডিগ্রির বেশি থেকে একশ আশি ডিগ্রি পূর্ণ হওয়া পর্যন্ত অংশের হেলন হলো নব্বই ডিগ্রির হেলনের অনুরূপ, তবে তা বিপরীত ক্রমে। আর একশ আশি থেকে দুইশ সত্তর ডিগ্রি পর্যন্ত অংশের হেলন নব্বই ডিগ্রির হেলনের মতোই সমান্তরাল। দুইশ সত্তর থেকে তিনশ ষাট ডিগ্রি পর্যন্ত অংশের হেলন নব্বই ডিগ্রির হেলনের অনুরূপ বিপরীত ক্রমে। আমরা এটি সারণীতে প্রতি ডিগ্রির ব্যবধানে লিপিবদ্ধ করেছি এবং সেখানে সংখ্যার কলামগুলোকে চারটি সারে বিভক্ত করেছি। প্রথম সারিতে আমরা রাশিবলয়ের সংখ্যা এক থেকে নব্বই ডিগ্রি পর্যন্ত স্থাপন করেছি। দ্বিতীয় সারিতে প্রথম সারির সংখ্যাগুলোকে একশ আশি থেকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ বসিয়েছি। চতুর্থ সারিতে প্রথম সারির সংখ্যাগুলোকে তিনশ ষাট থেকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশ বসিয়েছি। এতে করে যদি সংখ্যাটি প্রথম বা দ্বিতীয় সারিতে পড়ে, তবে আমরা জানতে পারব যে হেলনটি বিষুবীয় বৃত্ত থেকে উত্তর দিকে। আর যদি বাকি দুটি সারিতে পড়ে, তবে আমরা জানব যে তা দক্ষিণ দিকে।

আপনি যখন সূর্য বা অন্য কোনো রাশিবিন্দুর হেলন জানতে চাইবেন, তখন মেষ রাশির শুরু থেকে সূর্যের ডিগ্রি বা যা আপনি জানতে চান সেই পর্যন্ত গণনা করুন। প্রাপ্ত মানটি হবে হেলনের অংশ। এরপর হেলন সারণীর চারটি সংখ্যা-সারিতে এর অনুরূপ মানটি খুঁজুন এবং তার বিপরীতে থাকা ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ড গ্রহণ করুন। সেটিই হবে আপনার কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রির হেলন। যদি ডিগ্রির সাথে মিনিট থাকে, তবে আমি আপনাকে জ্যা-এর ব্যবধান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যেভাবে দেখিয়েছি, সেই অনুপাতে মিনিটের অংশ গ্রহণ করুন। অর্থাৎ আপনি দেখবেন যে ষাট মিনিটের তুলনায় আপনার হাতে থাকা মিনিট কতটুকু, যে ষাট মিনিটের ব্যবধানে সংখ্যাগুলো পরিবর্তিত হয়। পূর্ণ ডিগ্রির হেলন এবং তার পরবর্তী ডিগ্রির হেলনের মধ্যে যে পার্থক্য রয়েছে, সেই পরিমাণ অনুপাতে ওই অংশটি গ্রহণ করুন। এরপর দেখুন, যদি আপনার বর্তমান ডিগ্রির হেলন কম হয় তবে তা যোগ করুন, আর যদি বেশি হয় তবে তা বিয়োগ করুন। যোগ বা বিয়োগের পর যে হেলনটি পাওয়া যাবে, সেটিই হলো বিষুবীয় বৃত্ত থেকে আপনার কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রি ও মিনিটের হেলন। যদি তা ৫ থেকে ৯০ পর্যন্ত হয় তবে হেলন ক্রমবর্ধমান এবং সূর্য উত্তরের দিকে আরোহণ করছে। যদি ৯০ থেকে ১৮০ পর্যন্ত হয় তবে হেলন হ্রাসমান এবং সূর্য উত্তর থেকে নিচের দিকে নামছে। যদি ১৮০ থেকে ২৭০ পর্যন্ত হয় তবে হেলন ক্রমবর্ধমান এবং সূর্য দক্ষিণ দিকে নামছে। আর যদি ২৭০ থেকে ৩৬০ পর্যন্ত হয় তবে হেলন হ্রাসমান এবং সূর্য দক্ষিণের দিকে আরোহণ করছে। মোদ্দাকথা হলো, যদি হেলনের অংশ ৫ থেকে ১৮০ এর মধ্যে হয় তবে হেলন উত্তরমুখী, আর যদি ১৮০ থেকে ৩৬০ এর মধ্যে হয় তবে হেলন দক্ষিণমুখী। এই গণনার মাধ্যমেই আপনি হেলন জানতে পারবেন।

তিনি বললেন, আমাদের উচিত দিন-রাত্রির সমতাকারী কক্ষপথ (বিষুবীয় বৃত্ত) উল্লেখ করার মাধ্যমে শুরু করা, অতঃপর এর থেকে উত্তর দিকে হেলে থাকা অবশিষ্ট কক্ষপথগুলো এবং পৃথিবীর যে স্থানগুলো এই কক্ষপথগুলোর সমান্তরালে অবস্থিত তা উল্লেখ করা। আমরা বলি যে, পৃথিবীর যে রেখাটি দিন-রাত্রির সমতাকারী কক্ষপথের নিচে অবস্থিত, তাকেই নিরক্ষরেখা (খাত্তুল ইস্তিওয়া) বলা হয়; যার কোনো অক্ষাংশ নেই। দিন-রাত্রির সমতাকারী কক্ষপথের আবর্তন এর উপরে এবং এর ঊর্ধ্বে পূর্ব থেকে পশ্চিমে হয়ে থাকে। সেখানে বছরের সমস্ত দিনে দিন ও রাত সর্বদা সমান থাকে, যেমনটি আমরা শুরুতে উল্লেখ করেছি। কেবল এই রেখাটিই এমন যে, যখন সূর্য এর উপর দিয়ে অতিক্রম করে, তখন সমগ্র পৃথিবীতে দিন ও রাত ভারসাম্যপূর্ণ এবং দৃশ্যত সমান হয়। সেই সময় সূর্য রাশিচক্রের কক্ষপথ এবং দিন-রাত্রির সমতাকারী কক্ষপথের সাধারণ বিন্দুতে অবস্থান করে; আর তা হলো উভয় কক্ষপথের ছেদবিন্দু, যা মেষ রাশির শুরু এবং তুলা রাশির শুরু। কেবল তখনই দুপুরবেলায় এই রেখায় বসবাসকারীদের মাথার উপরে সূর্যের অবস্থান হয় এবং সেখানে দুপুরবেলায় দণ্ডায়মান ব্যক্তিদের কোনো ছায়া দক্ষিণ দিকে পড়ে না। আর যখন সূর্যের গতিপথ রাশিচক্রের দক্ষিণ গোলার্ধে থাকে, তখন দুপুরবেলায় ছায়ার ঝোঁক উত্তর দিকে হয়। এই রেখাটিই একমাত্র যা সমগ্র বাসযোগ্য চতুর্থাংশের দক্ষিণ দিককে চিহ্নিত করে। এছাড়া সেখানে সমস্ত নক্ষত্র উদিত ও অস্তমিত হয়, কারণ গোলকের মেরুদ্বয় সেখানে দিগন্ত বলয়ের সমতলে অবস্থান করে এবং কক্ষপথের আবর্তন চক্রাকার যা বার্ষিক। প্রকৃতপক্ষে এটি নিশ্চিতভাবে জানা নেই যে পৃথিবীর এই রেখাটি জনবসতিপূর্ণ কি না, কারণ আমাদের সময়ে কাউকে এটি দাবি করতে দেখিনি যে সে সেখানে পৌঁছেছে এবং টলেমি তার বইয়ে এটি উল্লেখ করেননি। তবে বিজ্ঞজনদের নিকট এটি সুবিদিত যে এই রেখার আবহাওয়া নাতিশীতোষ্ণ, কারণ সূর্য এখান থেকে অত্যধিক দূরে সরে যায় না এবং এর সমান্তরালে ছায়া দীর্ঘ হয় না, কারণ তখন ঢালু পথে এর অতিক্রমণের গতি দ্রুত থাকে। ফলে সেখানকার গ্রীষ্ম ও শীতকাল মনোরম আবহাওয়াসম্পন্ন হয়। আমরা যা বর্ণনা করেছি তার প্রতিফলন এর নিকটবর্তী এলাকাগুলোতে দেখা যায়, যেমন সানআ, এডেন এবং ইয়েমেনের অন্যান্য শহর যা এর কাছাকাছি অবস্থিত। আর এই রেখা থেকে উত্তর দিকে হেলে থাকা অবশিষ্ট রেখাগুলো যা উক্ত রেখার সমান্তরাল, সেগুলোর ক্ষেত্রে যে সকল নক্ষত্র এমন একটি বৃত্তের মধ্যে পড়ে যার কেন্দ্র হলো দিন-রাত্রির সমতাকারী উত্তর মেরু এবং যা দিগন্ত থেকে মেরুর উচ্চতার দূরত্বের সমান ব্যাসার্ধে অঙ্কিত, সেই রেখায় ঐ নক্ষত্রগুলো কখনোই অস্ত যায় না। আর এই বৃত্তের বাইরের নক্ষত্রগুলোর মধ্যে যেগুলো এর কাছাকাছি, সেগুলো এক রাতে দুইবার দেখা যেতে পারে—রাতের শুরুতে একবার এবং শেষে আরেকবার, আর এর মধ্যবর্তী সময়ে তা অদৃশ্য থাকে। যে সকল নক্ষত্র মাথার উপর (সমান্তরালে) থাকে, সেগুলো দিন-রাত্রির সমতাকারী মেরুদ্বয় বিশিষ্ট কক্ষপথ থেকে এমন একটি বৃত্তচাপ তৈরি করে যা নক্ষত্র ও দিন-রাত্রির সমতাকারী রেখার মধ্যবর্তী। আর সর্বদা অদৃশ্য নক্ষত্রগুলো সেই বৃত্তে অবস্থান করে যার কেন্দ্র হলো দক্ষিণ মেরু এবং যা দিগন্তের নিচে মেরুর অবনতির দূরত্বের সমান ব্যাসার্ধে অঙ্কিত। অবশিষ্ট অন্যান্য নক্ষত্রগুলো উদিত ও অস্তমিত হয়। এই কারণে, যখন কেউ উত্তর মেরু কেন্দ্রিক বৃত্তে অবস্থিত কোনো নক্ষত্র পর্যবেক্ষণ করে, যা দিগন্ত থেকে মেরুর উচ্চতার সমান দূরত্বে অঙ্কিত, তবে সেটির সর্বোচ্চ উচ্চতা গ্রহণ করে যখন তা মেরুর উপর দিয়ে আকাশের মধ্যরেখা অতিক্রম করে, যা মাথার উপরকার বিন্দু ও মেরুর মধ্যবর্তী স্থানে থাকে। অতঃপর সে অপেক্ষা করে যতক্ষণ না তা মেরুর নিচ দিয়ে এবং দিগন্তের উপর দিয়ে আকাশের মধ্যরেখা অতিক্রম করে এবং তা সর্বনিম্ন অবস্থানে পৌঁছায়; তখন এর উচ্চতা গ্রহণ করে। এরপর উভয় উচ্চতার ব্যবধান নির্ণয় করে তার অর্ধেক যদি সর্বনিম্ন উচ্চতার সাথে যোগ করা হয়, তবে সেটিই হবে সেই স্থানের দিগন্ত থেকে উত্তর মেরুর উচ্চতা। একইভাবে যদি উভয় উচ্চতা যোগ করে তার অর্ধেক নেওয়া হয়, তবে সেটিই মেরুর উচ্চতা হবে এবং তা হবে সেই স্থানের উত্তর অক্ষাংশ। এই রেখাগুলোর মধ্যে যে রেখার দূরত্ব দিন-রাত্রির সমতাকারী রেখা থেকে সূর্যবিচ্যুতির (সূর্যের হেলন) চেয়ে কম, সূর্য প্রতি বছর সেই রেখার মাথার উপর দিয়ে দুইবার অতিক্রম করে। এটি সূর্যবিচ্যুতির সারণী থেকে জানা যায় যে রাশিচক্রের কোন অংশে তা ঘটবে, অর্থাৎ সেই দিন সূর্য কোন অংশে অবস্থান করবে। কারণ সূর্য যখন মেষ বা তুলা রাশির শুরুতে থাকে, তখন দুপুরবেলায় তার পথ হয় নিরক্ষরেখার মাথার উপর দিয়ে, যেমনটি আগে বলা হয়েছে। আর সেখানে বছরে কেবল একবারই এমন ঘটে। যখন সূর্য এই দুই বিন্দুর উত্তর দিকে থাকে, তখন তা সেই অক্ষাংশে বসবাসকারীদের মাথার উপর দিয়ে অতিক্রম করে যার কৌণিক দূরত্ব সূর্যের সেদিনের বিচ্যুতির সমান; অর্থাৎ সেখানে মেরুর উচ্চতা হবে দুপুরবেলায় সূর্যের সেদিনের অবস্থানের বিচ্যুতির সমান। সূর্য যখন তাদের থেকে সরে যায়, তখন দুপুরবেলায় দণ্ডায়মান ব্যক্তিদের ছায়া দক্ষিণ দিকে পড়তে থাকে যতক্ষণ না সূর্য পুনরায় তাদের দিকে ফিরে আসে এবং দ্বিতীয়বার তাদের মাথার উপর ছায়া ফেলে। তখনও সেখানে দণ্ডায়মান ব্যক্তিদের কোনো ছায়া থাকে না যতক্ষণ না সূর্য তাদের অতিক্রম করে চলে যায়; তখন দণ্ডায়মান ব্যক্তিদের ছায়া উত্তর দিকে হেলে পড়ে।

যদি আপনার হিসাব কোনো নির্দিষ্ট অঞ্চলের উদয়মানের (অবলিক অ্যাসেনশন) ভিত্তিতে হয়, তবে তা মেষ রাশির প্রথম বিন্দু থেকে ওই ডিগ্রি পর্যন্ত সময়ের উদয়মান। আর যদি আপনার হিসাব বিষুবীয় বা সমবৃত্তের উদয়মানের (রাইট অ্যাসেনশন) ভিত্তিতে হয়, তবে তা মকর রাশির প্রথম বিন্দু থেকে ওই ডিগ্রি পর্যন্ত সময়ের উদয়মান। যদি ডিগ্রির সাথে মিনিট থাকে, তবে ষাটের অনুপাতে তার মান নির্ণয় করুন; যদি সংখ্যার পার্থক্য এক ডিগ্রি হয়, তবে ওই উদয়মান এবং তার পরবর্তী ডিগ্রির উদয়মানের পার্থক্যের সেই অনুপাতটি গ্রহণ করুন। এরপর প্রাপ্ত ফলটি পূর্ণ ডিগ্রির বিপরীতে প্রাপ্ত উদয়মানের সাথে যোগ করুন; যা পাওয়া যাবে তা-ই আপনার কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রি ও মিনিটের উদয়মান। আর যদি সংখ্যার পার্থক্য দশ ডিগ্রি হয়, তবে সারণিতে যা উল্লেখ আছে তার চেয়ে অতিরিক্ত ডিগ্রি ও মিনিটগুলো দশ ডিগ্রির কত অংশ তা লক্ষ করুন। এরপর সারণিতে পাওয়া উদয়মানের পার্থক্যের—অর্থাৎ আপনি যে উদয়মান পেয়েছেন এবং যা তার থেকে দশ ডিগ্রি বেশি—ততটুকু অংশ গ্রহণ করুন। প্রাপ্ত অংশটি দশকের নিচে থাকা উদয়মানের সাথে যোগ করুন; যা অর্জিত হবে তা-ই ওই ডিগ্রির উদয়মান।

আর যখন আপনি উদয়মানের মাধ্যমে রাশির ডিগ্রি জানতে চাইবেন—যাকে উদয়মানের বৃত্তচাপ নির্ণয় এবং সেগুলোকে সুষম ডিগ্রিতে বা রাশির ডিগ্রিতে রূপান্তর বলা হয়—তখন আপনি সমবৃত্তের উদয়মান বা কোনো অঞ্চলের উদয়মানের সারণিতে (যা আপনার প্রয়োজন) আপনার কাছে থাকা উদয়মান সময়ের সংখ্যার অনুরূপ সংখ্যা খুঁজুন। যেখানেই আপনি তার অনুরূপ অথবা তার চেয়ে কম কিন্তু নিকটতম সংখ্যা পাবেন, সাধারণ সংখ্যার সারিতে অঙ্কিত রাশির ডিগ্রির ঘর থেকে তার বিপরীতে থাকা মানটি গ্রহণ করুন। প্রাপ্ত মানটিই হবে ওই রাশির কাঙ্ক্ষিত ডিগ্রি যে রাশির ঘরে আপনি সময়ের সংখ্যাটি পেয়েছিলেন। অতঃপর আপনার কাছে থাকা সময়ের সংখ্যাটি বিয়োগ করুন। যা অবশিষ্ট থাকবে তা লক্ষ করুন; যদি সংখ্যার ব্যবধান এক ডিগ্রি হয় তবে তাকে ষাট মিনিট দিয়ে গুণ করুন, আর যদি ব্যবধান দশ ডিগ্রি হয় তবে তাকে ছয়শ মিনিট দিয়ে গুণ করুন। গুণফলকে ওই পরিচ্ছেদ এবং পরবর্তী পরিচ্ছেদের মধ্যবর্তী উদয়মানের পার্থক্য দিয়ে ভাগ করুন। ভাগের পর যে ডিগ্রি ও মিনিট পাওয়া যাবে, তা আপনার প্রাথমিকভাবে প্রাপ্ত ডিগ্রির সাথে যোগ করুন। এর ফলে যা হবে তা-ই ওই রাশির উদিত হওয়ার পরিমাণ অথবা মধ্যাকাশে অবস্থানের পরিমাণ, আপনি যেটির জন্য কাজ করছেন।

আর যদি আপনি আপনার কাছে অবশিষ্ট থাকা অতিরিক্ত অংশটি উদয়মানের পার্থক্যের কত অংশ তা দেখতে চান, তবে সংখ্যার পার্থক্যের ঠিক ততটুকু অংশ গ্রহণ করুন এবং আপনার প্রাপ্ত ডিগ্রির সাথে তা যোগ করুন। আর যদি আপনি সারণির মাধ্যমে দিন ও রাতের বৃত্তচাপ জানতে চান—যা সূর্যোদয় থেকে সূর্যাস্ত পর্যন্ত অথবা সূর্যাস্ত থেকে পরের দিন সূর্যোদয় পর্যন্ত বিষুবরেখা থেকে উদিত হওয়ার পরিমাণ—তবে আপনি নির্দিষ্ট দিনের সূর্যের অবস্থানটি জেনে নিন এবং সংশ্লিষ্ট অঞ্চলের নির্ধারিত উদয়মান সময় থেকে তা গ্রহণ করুন যার অক্ষাংশ ওই শহরের অক্ষাংশের সমান বা নিকটতম। এরপর ওই অঞ্চলে সূর্যের অবস্থানের ঠিক বিপরীত বিন্দুর বিপরীতে থাকা উদয়মান থেকে এটি বিয়োগ করুন। যা অবশিষ্ট থাকবে তা-ই দিনের বৃত্তচাপের পরিমাণ।